科学记数法

在讨论下一个主题之前，我们先简单了解一下科学记数法。

科学记数法是一种以简洁方式书写冗长数字的速记方法。尽管科学记数法乍看可能有些陌生，但理解它将有助于您掌握浮点数的工作原理及其局限性。

科学记数法中的数字采用以下形式：有效位 x 10的指数次方。例如，在科学记数法1.2 x 10^4中，1.2是有效位，4是指数。10^4等于10000，所以1.2 x 10^4等于12000。

按照惯例，科学记数法中的数字在小数点前只写一位数字，其余数字写在小数点后。

考虑地球的质量。用十进制表示，需要写成5973600000000000000000000kg。这是一个非常大的数字（即使用8字节的整数也放不下）。而且很难阅读（到底是19个零还是20个零？）。即使加上分隔符（5,973,600,000,000,000,000,000,000），该数字仍然很难读。

用科学记数法表示，则写成5.9736 x 10^24 kg。科学记数法的另一个好处是，通过比较指数，可以更方便地比较两个非常大或非常小的数字的大小。

因为在C++中很难键入或显示指数，所以我们使用字母”e”来表示”10的幂次方”部分。例如，1.2 x 10^4 写为1.2e4，而5.9736 x 10^24 写为5.9736e24。

对于小于1的数字，指数可以为负数。数字5e-2相当于5*10^-2，即5/100或0.05。电子的质量为9.1093822e-31 kg。

如何将数字转换为科学记数法

使用以下步骤：

• 指数从零开始。
• 滑动小数点，使小数点左侧只有一个非零数字。
  • 向左滑动一位，指数加一
  • 向右滑动一位，指数减一
• 删去任何前导零（在有效位的左端）
• 尾部的0如果是有效的，则不能删除

下面是一些示例：

1
2
3
4

开始: 0.0078900
小数点右滑3位: 0007.8900e-3
删除前导0: 7.8900e-3
保留尾部的0: 7.8900e-3 (5 个有效位)

1
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3
4

开始: 600.410
小数点左滑2位: 6.00410e2
无前导0: 6.00410e2
保留尾部的0: 6.00410e2 (6 个有效位)

1
2
3
4

开始: 42030 (尾部0无效的情况)
小数点左滑4位: 4.2030e4
无前导0: 4.2030e4
删除尾部的0: 4.203e4 (4 个有效位)

1
2
3
4

开始: 42030 (尾部0有效的情况)
小数点左滑4位: 4.2030e4
无前导0: 4.2030e4
保留尾部的0: 4.2030e4 (5 significant digits)

下面是最重要的一点：有效位中的数字（”e”之前的部分）称为有效数字。有效数字的个数决定了数字的精度。有效位中包含的数字越多，数字就越精确。

精度和小数点后的尾随零

考虑这样一种情况：我们让两个实验室助理分别称量同一个苹果。一个人回来说苹果重87.0克，另一个回来说苹果重87.000克。假设称重结果都是正确的。在前一种情况下，苹果的实际重量可能在86.950克到87.049克之间，天平的精度只有十分之一克。在后一种情况下，我们对苹果实际重量的把握更大（重量在86.99950到87.00049克之间，变化范围小得多）。

因此在标准科学记数法中，我们倾向于保留小数点后的尾随零，因为这些数字传达了关于精度的有用信息。

• 87.0g = 8.70e1
• 87.000g = 8.7000e1

然而从技术角度来看，数字87.0和87.000具有相同的值（和相同的类型）。当C++将这两个数字存储在内存中时，只会存储值87。一旦存储完成，就无法从存储的值中分辨出最初使用的是哪一个。